A transição da matemática desde a Babilônia

 

Problema de matemática extraído de uma tábua de argila, com escrita cuneiforme, da época do Império Babilônico, provavelmente do governo de Hammurabi; A escolha deste local é proposital já que a álgebra  surgiu e se desenvolveu durante o período deste império. 

No entanto, para facilitar a compreensão, usaremos a notação decimal indo-arábica ao invés da notação sexagesimal cuneiforme.

Na etapa 1 o problema era formulado, na etapa 2, os dados eram apresentados, na etapa 3, a resposta era informada, na etapa 4, a resposta era explicada com números, e finalmente, na etapa 5, a resposta era testada.

[1] Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura, obtendo: 32. Pede-se: comprimento e largura.

[2] [Dado] 32 soma; 252 área.
[3] [Resposta] 18 comprimento; 14 largura.
[4] Segue-se este método: Tome metade de 32 [que é 16].
16 x 16 = 256
256 - 252 = 4
A raiz quadrada de 4 é 2.	t
16 + 2 = 18 comprimento.
16 - 2 = 14 largura
[5] [Prova] Multipliquei 18 comprimento por 14 largura. 18 x 14 = 252 área

A forma de resolver a questão acima era utilizada em várias situações, e portanto, tem valor histórico.

 Hoje em dia, utilizaríamos o método da substituição, para resolver o sistema formado pelo enunciado, onde :

x + y= P

xy = K

Substituindo na primeira expressão/equação para "y", em termos de "x" e depois substituindo na segunda expressão, para poder resolver a equação quadrática resultante, em termos de x: 

Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam x e y em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.

Então o produto:

xy =  ((k/2) + t) ((k/2) - t)  =  (k/2)2 - t2   =  P

levava-os à relação :

(k/2)2 - P =  t2

Mas para os Pitagóricos e para a álgebra desenvolvida no tempo de Euclides da Grécia, embora se utilizassem do mesmo método de raciocínio para resolver a questão, como tinham ainda dificuldade com as frações e os números irracionais, e portanto, em utilizar a raiz quadrada para a resolução deste tipo de problema, a solução era apresentada em termos de segmentos de retas e área, sendo ilustrada por figuras geométricas.  

Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):

Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].

Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:

Bissecte AB em M:	k/2
Construa o quadrado MBCD:	(k/2)2
Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P:	t2 = (k/2)2 - P
Então é claro que	y = (k/2) - t

Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.

Isto nos leva a crer que esta apresentação em figuras geométricas se deram mais por um rigor matemático da parte de Euclides e Pitágoras. Pois, ainda que a raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões (na ocasião, por eles), pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário.

Levando-se em conta que, embora surgidas em tempos próximos, a álgebra egípcia era mais atrasada do que a babilônica, foi o método desta última que acabou vingando, desde 1.850 a.C., e  posteriormente, no século XVI, já na Europa, os matemáticos tiveram que estender a noção dos números indo-arábicos para poderem avançar significativamente na resolução de equações além do que já se fazia na Babilônia. E assim chegar ao método da substituição, como resolvemos hoje em dia!

(Base do estudo, site: Só Matemática)